【微分方程式シリーズ①】1階微分方程式を、例題を使って解き方を解説します

Q. 微分方程式 $ y’ = -2xy $ を解け

A. 変数分離形であるので、まずは変数分離をすると、 $ y \neq 0 $ で

$$ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -2x $$

と変形し、両辺を積分して

$$ \log{|x|} = -x^2 + C $$

これを $y = $ の形に直すと、一般解 $ y = C e^{-x^2} $ が求まります。 ($ C = ±e^c $)

Q. 微分方程式 $ 2xyy’ – x^2 + y^2 = 0 $ を解け

A. 「変数分離形」でないことはわかると思います。まずは変形してみましょう。

$$ y’ = \frac{x^2 + y^2}{2xy} $$

$$ = \frac{1 + \frac{y}{x} ^2}{2 \frac{y}{x}} $$

より、これは先ほど見た同次形のパターンだとわかります。

これより、定石通り $ u = \frac{y}{x} $ とおきます。$ y’ = u’x + u $ より、式全体は、

$$ u’x + u = \frac{1 + u^2}{2u} $$

となります。

これより、変数分離形の形になったので、式を変形して

$$ \frac{2u}{1-u^2} u’ = \frac{1}{x} $$

となり、両辺を積分すると、

$$ \int \frac{2u}{1-u^2} du = \int \frac{1}{x} dx $$

$$- \log{|u^2 -1|} = log {|x|} + C $$

となって、これより

$$ x(u^2-1) = ±e^{-c} $$

を得ることができます。

さて、途中で $ u = \frac{y}{x} $ と置いたので、これに代入して $x $ と $y$ の式に直すと、

$$ x^2 – y^2 + 2Cx = 0$$

となります。($C = ±\frac{e^{-c}}{2}$)

Q. 微分方程式 $ y’ -2y = 2x $ を解け

A. 同次方程式 $y’ – 2y = 0 $ の一般解は、$ y = Ce^{2x} $ はすぐに求まります。

定数変化法を使って、$C$ を$ a(x) $ で置き直すと、$ y’ – 2y = ( a'(x) e^{2x} + 2a(x)e^{2x}) – 2(a(x)e^{2x} )$ $ = a'(x) e^{2x} = 2x $ より、 $a'(x) = 2xe^{-2x} $ であるので、両辺をxで積分すると

$$ a(x) = \int 2xe^{-2x} = -xe^{-2x} + \int e^{-2x}dx $$

$$ = -(x+\frac{1}{2})e^{-2x} $$

したがって、特解は  $ -x – \frac{1}{2} $ と求まる。求めたかった一般式

$$ y = Ce^{2x} – x – \frac{1}{2} $$

が求まります。

Q. 微分方程式 $ y + x^2 + (x+y)y’ = 0 $ を解け

A. $ P(x,y) = y + x^2 $、Q(x,y) = x + y $ とおくと、

$ \frac{ \partial P}{ \partial x}  = 1 $ , $ \frac{ \partial Q}{ \partial y} = 1$

となるので、与式は完全微分方程式である。したがって一般解を求めれば良い。

$$ \frac{ \partial F}{ \partial x} = P(x,y) y + x^2 $$

の両辺を $ x $ で積分すると、

$$ F(x,y) = xy + \frac{x^3}{3} + g(y) $$

ここで、 $ g(y) $ は任意の関数であるが、これを

$$ \frac{ \partial F}{ \partial y} = Q(x,y) = x + y $$

に代入すると、

$$ \frac{d g}{d y} = y $$

となり、$ g(y) = \frac{y^2}{2} + C $ と求まる。したがって、一般解は

$$ xy + \frac{x^3}{3} + \frac{y^2}{2} = C $$

となる